Estudo de equação e função do 2º grau

Por Kleber Ribeiro Batista
Justificativa
É muito comum hoje o estudante sair da escola sem saber realmente o que é uma função, nem para que ela serve e tão pouco como usá-la no seu dia a dia. Com a implantação dos laboratório de informática em algumas escolas é necessário que façamos uso desta tecnologia bem como dos software que o acompanha. Nesse sentido pretendo dá um pouco de atenção a planilha eletrônica como uma ferramenta interessante para o uso da matemática na sala de aula. Queremos que o professor saia da rotina dando uma oportunidade ao aluno de desenvolver seu próprio raciocínio, criando algo como fazer o computador a "aprender" determinadas fórmulas matemáticas e como este dá o resultado imediato.
Usaremos neste estudo a equação e função do 2º grau. Vamos entender o que são coeficientes, variáveis, ver um pouco de lógica para entender o estudo de sinal , o domínio, a imagem, e principalmente da importância do coeficiente "a" e do discriminante “D” no gráfico da função.
Objetivo:
Incentivar os alunos a construírem fórmulas utilizando a planilha eletrônica;
Usar a planilha como caderno eletrônico;
Perceber que os coeficientes são constantes e quando mudada, muda também o resultado;
Observar que a variável é realmente a única que varia em uma função;
Verificar que o gráfico da função muda em função dos coeficientes.
Procedimento:
O professor lançará vários problemas cuja a resolução seja uma equação do 2º grau. O aluno montará o problema junto com o professor e lançará na planilha os coeficiente "a", "b" e "c". Irá em seguida escrever a fórmula do discriminante e das raízes e por últimos a fórmula da função para construção do gráfico. Siga o modelo da figura abaixo:

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Observe que na célula C10 está escrito a fórmula do discriminante, ou seja D=b2-4ac; que na Planilha é escrito assim “=$B$9^2-4*$A$9*$C$9” enquanto que nas células C12 e C13 estão respectivamente as raízes x1= , ou seja: =SE(C10<0;"Não existe raiz real";(-$B$9+RAIZ($C$10))/(2*$A$9)) e x2= , ou seja; =SE(C10<0;"Não existe raiz real";(-$B$9-RAIZ($C$10))/(2*$A$9)) que é a fórmula na Planilha.

Agora escreva em D8 esta função: =SE(C10>0;" D > 0, Temos duas raízes reais e diferente, o gráfico corta a abscissa em dois pontos";SE(C10=0;" D = 0, Temos duas raízes reais e iguais, o gráfico corta a abscissa em um único pontos";" D < 0, Não existe raiz nos reais")) ; em D9 esta: =SE(A9>0;" a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima";" a < 0,a concavidade da parábola é voltada para baixo") e por último em D10:=SE(C10>=0;" A paráboila corta a abscissa nos pontos "&C12&" e"&C13;"não corta a parábola")

Use essa planilha apenas como modelo para construção da sua e vamos resolver o seguinte problema: Uma pessoa está querendo fazer uma horta com 5m de comprimento por 4m de largura, e deseja fazer um passeio externo em torno da horta como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que ele dispões de material para cimentar somente 36m2 de área, qual deve ser a largura desse passeio?

Área menor = 5m . 4m = 20m2
Área maior = ( 5 + 2x ).( 4 + 2x) = 20 + 10x + 8x + 4x2 = 4x2 + 18x + 20
Área do passeio será a área maior menos a área menor = 36
Área do passeio = Área maior - Área menor = 4x2 + 18x + 20 - 20 = 36 ficando
4x2 + 18x = 36 donde vem que 4x2 + 18x - 36 = 0 ( Simplificando tudo por 2, obteremos)  2x2 + 9x - 18 = 0
Logo os valores dos coeficientes são a = 2 ; b = 9 e c = - 18.
Aplicando estes valores na planilha o resultado será:

Como obtivemos dois valores para x, temos que x2 não serve pois é negativo; portanto a largura do passeio será x1=1,5m.
Veja também na figura, que na célula “E10” temos a afirmativa de que o discriminante é positivo e que portanto; temos duas raízes reais e diferentes, o gráfico corta o eixo abscissa em dois pontos e que a concavidade da parábola é voltada para cima na célula “E11”. Eis aí uma boa pergunta. Usando a função "Se" você pode ensinar o computador a lhe dá esta resposta. Para ter uma visão geral acesse http://www.valteralencar.hpg.ig.com.br/equacao2graurevisada.xls
Quanto ao gráfico, seguiremos o seguinte encaminhamento:
1. Atribua a variável o valor –7(no endereço A17) e em A18 escreva =A17+1;
2. Faça uma cópia de A18 até A26, assim teremos os valores da variável x;
3. Escreva em B17 a fórmula da equação 2x2 + 9x - 18 que no Excel é =$A$9*A17^2+$B$9*A17+$C$9 ;
4. Faça uma cópia de B17 até B26, assim teremos os valores da função y;
5. Selecione de A16 até B26;
6. Clique em Assistente de Gráfico na barra padrão e siga as instruções da mesma e por fim clique em Concluir;
7. Pronto, o gráfico está feito e terá a forma da figura abaixo.

Veja também os endereços para colocarem os valores dos coeficientes "a", "b" e "c". Agora, o que aconteceria se atribuísse para o coeficiente "a" o valor zero? Como ficaria o gráfico, um parábola ou uma reta? Deu para verificar porque o coeficiente "a" tem que ser diferente de zero. Verifique em que intervalo a função é crescente ou decrescente, se tem ponto de máximo ou de mínimo. Tente ver junto com o seu professor a lógica para os resultado do discriminante ser menor ou maior que zero?

Publicado em 2001 .
Site: www.valteralencar.hpg.ig.com.br